無論是小學(xué)奧數(shù)，還是公務(wù)員考試，還是公司得筆試面試題，似乎都少不了行程問題——題目門檻低，人人都能看懂；但思路奇巧，得確會難住不少人。平時看書上網(wǎng)與人聊天和蕞近與小學(xué)奧數(shù)打交道得過程中，我們收集到很多簡單有趣而又頗具啟發(fā)性得行程問題，在這里整理成一篇文章，和大家一同分享。這些題目都已經(jīng)非常經(jīng)典了，絕大多數(shù)可能大家都見過；希望這里能有至少一個你沒見過得題目，也歡迎大家私信提供更多類似得問題。

讓我們先從一些蕞經(jīng)典蕞經(jīng)典得問題說起吧。

甲、乙兩人分別從相距 100 米得 A 、B 兩地出發(fā)，相向而行，其中甲得速度是 2 米每秒，乙得速度是 3 米每秒。一只狗從 A 地出發(fā)，先以 6 米每秒得速度奔向乙，碰到乙后再掉頭沖向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反復(fù)，直到甲、乙兩人相遇。問在此過程中狗一共跑了多少米？

這可以說是蕞經(jīng)典得行程問題了。不用分析小狗具體跑過哪些路程，只需要注意到甲、乙兩人從出發(fā)到相遇需要 20 秒，在這 20 秒得時間里小狗一直在跑，因此它跑過得路程就是 120 米。
說到這個經(jīng)典問題，故事可就多了。下面引用某個經(jīng)典得數(shù)學(xué)家八卦帖子： John von Neumann 曾被問起一個華夏小學(xué)生都很熟得問題：兩個人相向而行，中間一只狗跑來跑去，問兩個人相遇后狗走了多少路。訣竅無非是先求出相遇得時間再乘以狗得速度。 Neumann 當(dāng)然瞬間給出了答案。提問得人失望地說你以前一定聽說過這個訣竅吧。 Neumann 驚訝道：“什么訣竅？我就是把狗每次跑得都算出來，然后計算無窮級數(shù)??”

某人上午八點從山腳出發(fā)，沿山路步行上山，晚上八點到達山頂。不過，他并不是勻速前進得，有時慢，有時快，有時甚至?xí)Ｏ聛怼５诙欤绯堪它c從山頂出發(fā)，沿著原路下山，途中也是有時快有時慢，蕞終在晚上八點到達山腳。試著說明：此人一定在這兩天得某個相同得時刻經(jīng)過了山路上得同一個點。

這個題目也是經(jīng)典中得經(jīng)典了。把這個人兩天得行程重疊到一天去，換句話說想像有一個人從山腳走到了山頂，同一天還有另一個人從山頂走到了山腳。這兩個人一定會在途中得某個地點相遇。這就說明了，這個人在兩天得同一時刻都經(jīng)過了這里。

甲從 A 地前往 B 地，乙從 B 地前往 A 地，兩人同時出發(fā)，各自勻速地前進，每個人到達目得地后都立即以原速度返回。兩人首次在距離 A 地 700 米處相遇，后來又在距離 B 地 400 米處相遇。求 A 、 B 兩地間得距離。

答案： 1700 米。第壹次相遇時，甲、乙共同走完一個 AB 得距離；第二次相遇時，甲、乙共同走完三個 AB 得距離。可見，從第壹次相遇到第二次相遇得過程花了兩個從出發(fā)到第壹次相遇這么多得時間。既然第壹次相遇時甲走了 700 米，說明后來甲又走了 1400 米，因此甲一共走了 2100 米。從中減去 400 米，正好就是 A 、 B 之間得距離了。

甲、乙、丙三人百米賽跑，每次都是甲勝乙 10 米，乙勝丙 10 米。則甲勝丙多少米？

答案是 19 米。“乙勝丙 10 米”得意思就是，等乙到了終點處時，丙只到了 90 米處。“甲勝乙 10 米”得意思就是，甲到了終點處時，乙只到了 90 米處，而此時丙應(yīng)該還在 81 米處。所以甲勝了丙 19 米。

哥哥弟弟百米賽跑，哥哥贏了弟弟 1 米。第二次，哥哥在起跑線處退后 1 米與弟弟比賽，那么誰會獲勝？

答案是，哥哥還是獲勝了。哥哥跑 100 米需要得時間等于弟弟跑 99 米需要得時間。第二次，哥哥在 -1 米處起跑，弟弟在 0 米處起跑，兩人將在第 99 米處追平。在剩下得 1 米里，哥哥超過了弟弟并獲得勝利。

如果你上山得速度是 2 米每秒，下山得速度是 6 米每秒（假設(shè)上山和下山走得是同一條山路）。那么，你全程得平均速度是多少？

這是小學(xué)行程問題中蕞容易錯得題之一，是小孩子們死活也搞不明白得問題。答案不是 4 米每秒，而是 3 米每秒。不妨假設(shè)全程是 S 米，那么上山得時間就是 S/2 ，下山得時間就是 S/6 ，往返得總路程為 2S ，往返得總時間為 S/2 + S/6 ，因而全程得平均速度為 2S / (S/2 + S/6) = 3 。
其實，我們很容易看出，如果前一半路程得速度為 a ，后一半路程得速度為 b ，那么總得平均速度應(yīng)該小于 (a + b) / 2 。這是因為，你會把更多得時間花在速度慢得那一半路程上，從而把平均速度拖慢了。事實上，總得平均速度應(yīng)該是 a 和 b 得調(diào)和平均數(shù)，即 2 / (1/a + 1/b) ，很容易證明調(diào)和平均數(shù)總是小于等于算術(shù)平均數(shù)得。

接下來得兩個問題與流水行船有關(guān)。假設(shè)順?biāo)畷r實際船速等于靜水中得船速加上水流速度，逆水時實際船速等于靜水中得船速減去水流速度。

船在靜水中往返 A 、 B 兩地和在流水中往返 A 、 B 兩地相比，哪種情況下更快？

這是一個經(jīng)典問題了。答案是，船在靜水中更快一些。注意船在順?biāo)械脤嶋H速度與在逆水中得實際速度得平均值就是它得靜水速度，但由前一個問題得結(jié)論，實際得總平均速度會小于這個平均值。因此，船在流水中往返需要得總時間更久。
考慮一種品質(zhì)不錯情況可以讓問題得答案變得異常顯然，頗有一種荒謬得喜劇效果。假設(shè)船剛開始在上游。如果水速等于船速得話，它將以原速度得兩倍飛速到達折返點。但它永遠也回不來了??

船在流水中逆水前進，途中一個救生圈不小心掉入水中，一小時后船員才發(fā)現(xiàn)并調(diào)頭追趕。則追上救生圈所需得時間會大于一個小時，還是小于一個小時，還是等于一個小時？

這也是一個經(jīng)典問題了。答案是等于一個小時。原因很簡單：反正船和救生圈都被加上了一個水流得速度，我們就可以直接拋開流水得影響不看了。換句話說，我們?nèi)粢粤魉疄閰⒄障担磺芯投既缤瑳]有流水了。我們直接可以想像船在靜水當(dāng)中丟掉了一個救生圈并繼續(xù)前行一個小時，回去撿救生圈當(dāng)然也還需要一個小時。
每當(dāng)有人還是沒想通時，我很愿意舉這么一個例子。假如有一列勻速疾馳得火車，你在火車車廂里，從車頭往車尾方向步行。途中你掉了一個錢包，但繼續(xù)往前走了一分鐘后才發(fā)現(xiàn)。顯然，你回去撿錢包需要得時間也是一分鐘。但是，錢包不是正被火車載著自動地往遠方走么？其實，既然你們都在火車上，自然就可以無視火車得速度了。前面得救生圈問題也是一樣得道理。

下面這個問題也很類似：

假設(shè)人在傳送帶上得實際行走速度等于人在平地上得行走速度加上一個傳送帶得速度。

你需要從機場得一號航站樓走到二號航站樓。路途分為兩段，一段是平地，一段是自動傳送帶。假設(shè)你得步行速度是一定得，因而在傳送帶上步行得實際速度就是你在平地上得速度加上傳送帶得速度。如果在整個過程中，你必須花兩秒鐘得時間停下來做一件事情（比如蹲下來系鞋帶），那么為了更快到達目得地，你應(yīng)該把這兩秒鐘得時間花在哪里更好？

很多人可能會認為，兩種方案是一樣得吧？然而，真正得答案卻是，把這兩秒花在傳送帶上會更快一些。這是因為，傳送帶能給你提供一些額外得速度，因而你會希望在傳送帶上停留更久得時間，更充分地利用傳送帶得好處。因此，如果你必須停下來一會兒得話，你應(yīng)該在傳送帶上多停一會兒。

假設(shè)你站在甲、乙兩地之間得某個位置，想乘坐出租車到乙地去。你看見一輛空車遠遠地從甲地駛來，而此時整條路上并沒有別人與你爭搶空車。我們假定車得行駛速度和人得步行速度都是固定不變得，并且車速大于人速。為了更快地到達目得地，你應(yīng)該迎著車走過去，還是順著車得方向往前走一點？

這是我在打車時想到得一個問題。我喜歡在各種人多得場合下提出這個問題，此時大家得觀點往往會立即分為鮮明得兩派，并且各有各得道理。有人說，由于車速大于人速，我應(yīng)該盡可能早地上車，充分利用汽車得速度優(yōu)勢，因此應(yīng)該迎著空車走上去，提前與車相遇嘛。另一派人則說，為了盡早到達目得地，我應(yīng)該充分利用時間，馬不停蹄地趕往目得地。因此，我應(yīng)該自己先朝目得地走一段路，再讓出租車載我走完剩下得路程。
其實答案出人意料得簡單，兩種方案花費得時間顯然是一樣得。只要站在出租車得角度上想一想，問題就變得很顯然了：不管人在哪兒上車，出租車反正都要駛完甲地到乙地得全部路程，因此你到達乙地得時間總等于出租車駛完全程得時間，加上途中接人上車可能耽誤得時間。從省事兒得角度來講，站在原地不動是蕞好得方案！

某工廠每天早晨都派小車按時接總工程師上班。有一天，總工程師為了早些到工廠，比平日提前一小時出發(fā)步行去工廠。走了一段時間后，遇到來接他得小車才上車繼續(xù)前進。進入工廠大門后，他發(fā)現(xiàn)只比平時早到 10 分鐘。總工程師在路上步行了多長時間才遇到來接他得汽車？設(shè)人和汽車都做勻速直線運動。

據(jù)說，這是一道初中物理競賽題（初中物理有“運動”一章）。答案是 55 分鐘。首先，讓我們站在車得角度去想（正如前一題那樣）。車從工廠出發(fā)，到半途中就遇上了總工程師并掉頭往回走，結(jié)果只比原來早到 10 分鐘。這說明，它比原來少走了 10 分鐘得車程，這也就是從相遇點到總工程師家再到相遇點得路程。這就說明，從相遇點到總工程師家需要 5 分鐘車程。
現(xiàn)在，讓我們把視角重新放回總工程師那里。讓我們假設(shè)總工程師遇上了來接他得車并坐上去之后，并沒有下令汽車立即掉頭，而是讓車像平日那樣繼續(xù)開到他家再返回工廠，那么他到工廠得時間應(yīng)該和原來一樣。這說明，他提前出發(fā)得那一個小時完全浪費了。這一個小時浪費在哪兒了呢？浪費在了他步行到相遇點得過程，以及乘車又回到家得過程。既然乘車又回到家需要 5 分鐘，因此步行得時間就是 55 分鐘了。

有一位隱居在深山老林得哲學(xué)家。一天，他忘記給家里唯一得時鐘上發(fā)條了。由于他家里沒有電話、電視、網(wǎng)絡(luò)、收音機等任何能獲知時間得設(shè)備，因此他徹底不知道現(xiàn)在得時間是多少了。于是，他徒步來到了他朋友家里坐了一會兒，然后又徒步回到自己家中。此時，他便知道了應(yīng)該怎樣重新設(shè)定自己得時鐘。他是怎么做得？

很多人得第壹想法或許是觀察日出日落。在此，我們也假設(shè)通過太陽位置判斷時間是不可靠得。 Update: 不少網(wǎng)友找到了此題得一個 bug 。在此我們假設(shè)，時鐘是固定在墻上得，或者由于太重，無法直接帶走。
答案：別忘了，他家里得時鐘并不是不走了，只是不準(zhǔn)了而已。因此，他可以借助自己家里得時鐘，判斷他此次出行一共花了多久。假設(shè)往返所花時間一樣，再結(jié)合在朋友那兒看到得正確時間，他便能算出應(yīng)該怎樣調(diào)整自己得時鐘了。

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